Меню

Экваториальный радиус земли равен полярному радиусу

Радиус Земли — характеристика, вычисляемая веками

Начнём с определения, что такое радиус и для чего он нужен. Ну здесь всё довольно просто. Радиусом называют отрезок, который соединяет центр окружности с лежащей на ней точкой. То есть это длина данного отрезка. К тому же, он равный половине диаметра.
Таким образом, радиус Земли это длина от её центра до некой точки. Но тут прослеживается интересный момент.

Каким может быть радиус Земли

На данный момент различают:

  • экваториальный радиус-представляет собой линию от центра до точки экватора. Собственно, он имеет длину 6378,1 км.
  • полярный соединяет центральную точку с географическим полюсом.

А как известно, различают Северный и Южный полюса . По данным учёных, он равен 6356,8 км. Как видно, его длина меньше предыдущего. Очевидно, что это связано с формой Земли . Как известно, наша планета не идеально округлая по форме, а немного приплюснута у полюсов. Поэтому на экваторе наблюдается выпуклость, которая и приводит к увеличению дистанции от одной точки до другой. Как раз этим и объясняется различие между рассматриваемыми дистанциями.

Однако учёные определили средний радиус Земли. И он составляет 6371 км.
В итоге, отвечая на вопрос: чему равен радиус Земли, можно руководствоваться средним значением. Либо будет правильнее уточнить, что существует две разные длины этой характеристики планеты.
Также важно подметить, что радиус Земли рассчитывается, главным образом, в километрах.

История измерения

Безусловно, своей планетой люди интересовались ещё в древности . Помимо того, что они наблюдали за всем, что происходит вокруг неё, также проводились исследования и изучение Земли.

Интересно, что в древние египтяне обратили внимание, что в дни летнего солнцестояния солнечные лучи проникали на дно колодцев в Сиене (старый город Египта). Однако в это же самое время, например, в Александрии такое не наблюдали. Этот факт использовал Эратосфен Киренский для определения угла, под которым Солнце находилось относительно Земли. Таким образом он установил, что данный угол равен 7 градусов 12 минут, или 1/50 часть окружности. На основании полученного результата, учёный сделал вывод, что Сиена находится от Александрии на это значение. Так как географическое расстояние было 5 тысяч стадиев, значит земная окружность составляла 250 тысяч стадиев. Но до сих пор непонятно, какие стадии применял Эратосфен. Потому как греческое значение подразумевает 178 метров, а например, египетское — 172,5 метров. Несмотря на это, его определение близко к современным подсчётам. Что разумеется, очень потрясает.

Полторы тысяч лет назад, все знали что Земля была центром вселенной. Пятьсот лет назад, все знали что Земля плоская, а пятнадцать минут назад, ты знал что люди были единственными на этой планете. Представь что ты будешь «знать» завтра.

Форма и радиус Земли

Интересно, что уже в древности были версии о неидеальной форме планеты.
Конечно, другие учёные также пытались измерить радиус Земли. К примеру, Жан Рише наблюдал за Марсом из Кайенны. Он заметил уменьшение периода движения секундного маятника в отличие от парижского наблюдения. Собственно, это является подтверждением уменьшения силы тяготения на экваторе. Что, в свою очередь, показывало на то, что земная форма не идеальная окружность.
Также многие другие пытались разобраться с тем, как выглядит наша планета. Потому что от этого напрямую зависит радиус и диаметр Земли. Стоит отметить, одно из самых важных градусных измерений. Его провёл В. Я. Струве. В основе работы лежит измерение дуги от Дуная до Финляндии. Причём она проходила по западной стороне России. Как выяснили учёные, длина дуги была более 2800 км. Кроме того, её охват составил свыше 25 градусов, а это 1/14 часть всей планетной окружности.

Бесспорно, за всё время люди прилагали массу усилий и попыток определить все характеристики Земли. Сегодня мы знаем больше, чем когда-либо. Более того, мы определили, что радиус Земли в среднем составляет 6371 км. Помимо этого современная наука выяснила диаметр, радиус орбиты, расстояние от Земли до других небесных тел и многое другое. К нашей радости, мы мало-помалу разгадываем вселенские задачи и секреты.

Источник

Эратосфен, радиус и форма Земли

Эратосфен Киренский (276 год до н.э. — 194 год до н.э.) — греческий математик, астроном, географ и поэт.

С раннего возраста он жил в Александрии, здесь он и получил образование под руководством своего учёного земляка Каллимаха, стоявшего во главе александрийской библиотеки.

Для расширения познаний, приобретённых в Александрии, Эратосфен отправился в Афины, где так тесно сблизился с школой Платона, что обыкновенно называл себя платоником. Результатом изучения наук в этих обоих центрах древнегреческого просвещения была очень разносторонняя, почти энциклопедическая эрудиция Эратосфена: он писал, кроме сочинений по математике, астрономии, геодезии, географии и хронологии, ещё трактаты «о добре и зле», о комедии и др.

После смерти Каллимаха царь Птолемей III Эвергет тотчас же вызвал Эратосфена из Афин и поручил ему заведование великой Александрийской библиотекой.

Эратосфен — автор многих трудов по математике, астрономии, геодезии, географии. Один из значительных фактов жизни Эратосфена – вычисление радиуса Земли. Древние египтяне заметили, что во время летнего солнцестояния Солнце освещает дно глубоких колодцев в Сиене (ныне Асуан), а в Александрии — нет. Эратосфен использовал этот факт для измерения окружности и радиуса Земли. Эратосфен допустил, что свет от Солнца идет параллельными лучами. В Сиену эти лучи приходят вертикально, тогда как в Александрию под углом, отчего возникают тени. Из архивов своей библиотеки и со слов путешествующих купцов он знал, что расстояние между двумя городами составляет 5000 стадиев. Все, что ему надо было сделать, это вычислить угол падения солнечного света в Александрии. В день летнего солнцестояния в Александрии 19 июня 240 года до н.э. он применил скафис (чашу с длинной иглой), при помощи которого можно было определить под каким углом Солнце находится на небе.

Прибор, как видно из рисунка, представлял собой полушар с нанесенными на нем делениями, и с вертикальным колышком ОА (гномоном), помещавшимся на дне чаши. Гномон — древнейший астрономический инструмент, вертикальный предмет (обелиск, колонна, шест).

Измеренный угол падения света в Александрии был таким же, как угол между двумя городами, если смотреть на них из центра Земли.

Задача

В полдень 19 июня 240 года до н.э. в городе Сиена (ныне Асуан) Солнце освещает дно самых глубоких колодцев, т.е. находится в зените. В этот же день в полдень в городе Александрия Солнце отстает от зенита на α = 7,2ᵒ. Расстояние между Сиеной и Александрией S = 787,5 км. У Эратосфена это расстояние равно 5000 египетских стадий, т.е. 1 стадий ≈ 157,5 м. Определить радиус R и длину окружности L Земли.

Дуга, соответствующая центральному углу α = 7,2ᵒ, составляет 1/50 часть длины окружности:

Отсюда длина окружности Земли:

Соответственно радиус Земли:

R = L/2π = 39375/6,28 ≈ 6270 км

Современные измерения позволили установить точный размер Земли, в соответствии с которыми средний радиус Земли равен R = 6371 км.

Эратосфен получил значения всего на 1,6% меньше сегодняшних, что поразительно, учитывая используемые им древние измерительные приборы.

Изучением размеров нашей планеты и формы се поверхности занимается наука геодезия, что в переводе с греческого означает «землеизмерение». Ее зарождение следует отнести к Эратосфсну. Но, собственно, научная геодезия началась с триангуляции, впервые предложенной Снеллиусом.

Самое грандиозное градусное измерение XIX века возглавил основатель Пулковской обсерватории В. Я. Струве. В основе его работы лежало измерение дуги от Дуная до Финляндии. Причём она проходила по западной стороне России. Как выяснили учёные, длина дуги была более 2800 км. Кроме того, её охват составил свыше 25 градусов, а это 1/14 часть всей планетной окружности. Градусные измерения показали, что паша Земля не является в точности шаром, а похожа на эллипсоид, то есть она сжата у полюсов.

Отечественные геодезисты создали и промерили триангуляционную сеть почти на половине территории СССР. Это позволило советскому ученому Ф. Н. Красовскому (1878-1948) более точно определить размеры и форму Земли. Эллипсоид Красовского: экваториальный радиус — 6378,245 км, полярный радиус — 6356,863 км. Сжатие планеты — 1/298,3, то есть на такую часть полярный радиус Земли короче экваториального (в линейной мере — 21,382 км).

Читайте также:  Как поменять землю из сельхозназначения в ижс

С запуском спутников выяснилось, что спутники очень полезны и для познания самой Земли.

Так были связаны воедино триангуляции, построенные на разных материках, а заодно были уточнены размеры Земли: экваториальный радиус — 6378,160 км, полярный радиус — 6356,777 км. Величина сжатия — 1/298,25, то есть почти такая же, как у эллипсоида Красовского. Разница между экваториальным и полярным диаметрами Земли достигает 42 км 766 м.

Кроме того, оказалось, что наша планета имеет еще и слегка грушевидную форму. Ее Северный полюс приподнят над плоскостью экватора па 16 м, а Южный — примерно на столько же опущен (как бы вдавлен). Вот и получается, что в сечении по меридиану фигура Земли напоминает грушу. Она чуть-чуть вытянута к северу и приплюснута у Южного полюса. Налицо полярная асимметрия: северное полушарие не тождественно Южному. Так на основании спутниковых данных было получено самое точное представление об истинной форме Земли. Как видим, фигура нашей планеты заметно отклоняется от геометрически правильной формы шара, а также от фигуры эллипсоида вращения.

Спасибо за внимание! Ставьте лайки и подписывайтесь 🙂

Источник

Радиус Земли — Earth radius

Основная информация Система единиц астрономия , геофизика Единица расстояние Символ R или , р E <\ displaystyle R_ > р е E N <\ Displaystyle <\ mathcal > _ <\ mathrm > ^ <\ mathrm >> Конверсии 1 R ⊕ дюйм . . равно . Базовая единица СИ 6.3781 × 10 6 м Метрическая система От 6,357 до 6,378 км Английские единицы От 3,950 до 3,963 миль
Геодезия
НГВД 29 Датум уровня моря 1929 г.
OSGB36 Обзор боеприпасов Великобритании, 1936 г.
СК-42 Система Координат 1942 года
ED50 Европейский датум 1950 г.
SAD69 Южноамериканский датум 1969 г.
GRS 80 Геодезическая справочная система 1980 г.
ISO 6709 Координаты географической точки. 1983 г.
NAD 83 Североамериканский датум 1983 г.
WGS 84 Мировая геодезическая система 1984
НАВД 88 Северная Америка, вертикальная система отсчета 1988 г.
ETRS89 Европейское наземное вещание Ref. Sys. 1989 г.
GCJ-02 Китайский запутанный датум 2002
Географический URI Интернет-ссылка на точку 2010
  • Международная наземная система отсчета
  • Идентификатор системы пространственной привязки (SRID)
  • Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM)

Радиус Земли (обозначается символом R или ) — это расстояние от центра Земли до точки на ее поверхности или вблизи нее. Аппроксимируя фигуру Земли с помощью Земли сфероида , диапазонов радиуса от максимума почти 6378 км (3963 миль) ( экваториального радиуса , обозначенного ) до минимума почти 6357 км (3950 миль) ( полярный радиус , обозначенный б ). р E <\ displaystyle R_ >

Номинальный радиус Земли иногда используется в качестве единицы измерения в астрономии и геофизики , который рекомендован Международным астрономическим союзом , чтобы быть экваториальный значение.

Глобальное среднее значение обычно составляет 6 371 км (3 959 миль) с вариацией 0,3% (+/- 10 км) по следующим причинам. Международный союз геодезии и геофизики (МСГГ) обеспечивает три опорные значения: на средний радиус (R 1 ) из трех радиусов , измеренных в двух точках экватора и полюса; authalic радиус , который является радиусом сферы , с одной и той же площадью поверхности (R 2 ); и объемный радиус , который представляет собой радиус сферы, имеющей тот же объем, что и эллипсоид (R 3 ). Все три значения составляют около 6371 км (3959 миль).

Другие способы определения и измерения радиуса Земли включают радиус кривизны . Некоторые определения дают значения за пределами диапазона между полярным радиусом и экваториальным радиусом, потому что они включают местную или геоидальную топографию или потому что они зависят от абстрактных геометрических соображений.

СОДЕРЖАНИЕ

Вступление

Вращение Земли , изменения внутренней плотности и внешние приливные силы заставляют ее форму систематически отклоняться от идеальной сферы. Местная топография увеличивает дисперсию, в результате чего поверхность становится очень сложной. Наши описания земной поверхности должны быть проще, чем реальность, чтобы их можно было подобрать. Следовательно, мы создаем модели, приближающие характеристики поверхности Земли, обычно полагаясь на простейшую модель, которая соответствует потребностям.

Каждая из широко используемых моделей включает некоторое понятие геометрического радиуса . Строго говоря, сферы — единственные твердые тела, у которых есть радиус, но более широкое употребление термина радиус распространено во многих областях, включая те, которые имеют дело с моделями Земли. Ниже приводится частичный список моделей земной поверхности в порядке от точного к более приблизительному:

  • Реальная поверхность Земли
  • Геоид , определяется средним уровнем моря в каждой точке на реальную поверхности
  • Сфероид , называемый также эллипсоидом вращения, геоцентрическая модель всей Земли, или еще геодезический для региональной работы
  • сфера

В случае геоида и эллипсоидов фиксированное расстояние от любой точки модели до указанного центра называется «радиусом Земли» или «радиусом Земли в этой точке» . Также принято называть любой средний радиус сферической модели «радиусом земли» . С другой стороны, при рассмотрении реальной поверхности Земли упоминание «радиуса» редко, поскольку в этом, как правило, нет практической необходимости. Скорее, полезно иметь высоту выше или ниже уровня моря.

Независимо от модели, любой радиус находится между полярным минимумом около 6357 км и экваториальным максимумом около 6378 км (от 3950 до 3963 миль). Следовательно, Земля отклоняется от идеальной сферы всего на треть процента, что поддерживает сферическую модель в большинстве контекстов и оправдывает термин «радиус Земли». Хотя конкретные значения различаются, концепции в этой статье распространяются на любую крупную планету .

Физика деформации Земли

Вращение планеты приводит к тому, что она приближается к сплющенному эллипсоиду / сфероиду с выпуклостью на экваторе и уплощением на Северном и Южном полюсах , так что экваториальный радиус a больше полярного радиуса b примерно на aq . Константа сжатия q определяется выражением

q знак равно а 3 ω 2 грамм M , <\ Displaystyle д = <\ гидроразрыва <а ^ <3>\ омега ^ <2>> > \ ,,>

где ω — угловая частота , G — гравитационная постоянная , M — масса планеты. Для Земли 1 / q ≈ 289 , что близко к измеренному обратному уплощению 1 / ж ≈ 298,257 . Вдобавок выпуклость на экваторе медленно меняется. Выпуклость уменьшалась, но с 1998 года выпуклость увеличилась, возможно, из-за перераспределения массы океана через течения.

Изменение плотности и толщины земной коры вызывает изменение силы тяжести по поверхности и во времени, так что средний уровень моря отличается от эллипсоида. Эта разница представляет собой высоту геоида , положительную над эллипсоидом или за ее пределами, отрицательную под или внутри. Изменение высоты геоида составляет менее 110 м (360 футов) на Земле. Высота геоида может резко измениться из-за землетрясений (например, Суматра-Андаманское землетрясение ) или уменьшения ледяных масс (например, в Гренландии ).

Не все деформации происходят внутри Земли. Гравитационное притяжение Луны или Солнца может вызвать изменение поверхности Земли в данной точке на десятые доли метра в течение почти 12-часового периода (см. Земной прилив ).

Радиус и местные условия

С учетом местных и переходных влияний на высоту поверхности, значения, определенные ниже, основаны на модели «общего назначения», уточненной с максимальной точностью в пределах 5 м (16 футов) от высоты опорного эллипсоида и с точностью до 100 м (330 футов). среднего уровня моря (без учета высоты геоида).

Кроме того, радиус можно оценить по кривизне Земли в точке. Как и у тора , кривизна в точке будет наибольшей (самой плотной) в одном направлении (север-юг на Земле) и наименьшей (самой плоской) перпендикулярно (восток-запад). Соответствующий радиус кривизны зависит от местоположения и направления измерения от этой точки. Следствием этого является то, что расстояние до истинного горизонта на экваторе немного короче в направлении север-юг, чем в направлении восток-запад.

Таким образом, местные вариации ландшафта не позволяют определить единственный «точный» радиус. Можно только принять идеализированную модель. Со времени оценки Эратосфена было создано множество моделей. Исторически эти модели основывались на региональной топографии, что давало наилучший опорный эллипсоид для исследуемой территории. По мере того, как спутниковое дистанционное зондирование и особенно Глобальная система определения местоположения приобрели значение, были разработаны настоящие глобальные модели, которые, хотя и не так точны для региональных исследований, лучше всего приближают Землю в целом.

Экстремумы: экваториальный и полярный радиусы

Следующие радиусы получены из опорного эллипсоида Всемирной геодезической системы 1984 ( WGS-84 ) . Это идеализированная поверхность, и измерения Земли, использованные для ее расчета, имеют погрешность ± 2 м как в экваториальном, так и в полярном измерениях. Дополнительные расхождения, вызванные топографическими вариациями в определенных местах, могут быть значительными. При определении положения наблюдаемого местоположения использование более точных значений радиусов WGS-84 может не привести к соответствующему повышению точности .

Значение экваториального радиуса определено с точностью до 0,1 м в WGS-84. Значение полярного радиуса в этом разделе было округлено до ближайших 0,1 м, что, как ожидается, будет подходящим для большинства применений. Обратитесь к эллипсоиду WGS-84, если требуется более точное значение его полярного радиуса.

  • Экваториальный радиус Земли a или большая полуось — это расстояние от ее центра до экватора, равное 6 378,1370 км (3 963,1906 миль). Экваториальный радиус часто используется для сравнения Земли с другими планетами .
  • Полярный радиус Земли b или малая полуось — это расстояние от ее центра до Северного и Южного полюсов, равное 6 356,7523 км (3 949 9028 миль).

Радиусы в зависимости от местоположения

Геоцентрический радиус

Геоцентрической радиус это расстояние от центра Земли до точки на поверхности сфероида на геодезической широты ф :

р ( φ ) знак равно ( а 2 потому что ⁡ φ ) 2 + ( б 2 грех ⁡ φ ) 2 ( а потому что ⁡ φ ) 2 + ( б грех ⁡ φ ) 2 <\ Displaystyle R (\ varphi) = <\ sqrt <\ frac <(a ^ <2>\ cos \ varphi) ^ <2>+ (b ^ <2>\ sin \ varphi) ^ <2>> <( a \ cos \ varphi) ^ <2>+ (b \ sin \ varphi) ^ <2>>>>>

где a и b — соответственно экваториальный радиус и полярный радиус.

Геоцентрические радиусы экстремумов на эллипсоиде совпадают с экваториальным и полярным радиусами. Они являются вершинами эллипса и также совпадают с минимальным и максимальным радиусами кривизны.

Радиусы кривизны

Основные радиусы кривизны

Различают два основных радиуса кривизны : по меридиональному и прямовертикальному нормальным участкам .

Меридиональный

В частности, в меридиональной радиус Земли кривизны (в (север-юг) меридиане направление) на ф является:

M ( φ ) знак равно ( а б ) 2 ( ( а потому что ⁡ φ ) 2 + ( б грех ⁡ φ ) 2 ) 3 2 знак равно а ( 1 — е 2 ) ( 1 — е 2 грех 2 ⁡ φ ) 3 2 знак равно 1 — е 2 а 2 N ( φ ) 3 . <\ Displaystyle М (\ varphi) = <\ гидроразрыва <(ab) ^ <2>> <<\ big (>(а \ соз \ varphi) ^ <2>+ (b \ sin \ varphi) ^ <2> <\ big)>^ <\ frac <3><2>>>> = <\ frac )> <(1-e ^ <2>\ sin ^ <2>\ varphi) ^ <\ frac <3><2>>>> = <\ frac <1-e ^ <2>> >> N (\ varphi) ^ <3>\ ,.>

где — эксцентриситет земли. Это радиус, который Эратосфен измерил при измерении дуги . е <\ displaystyle e>

Prime вертикальный

Если одна точка появилась точно к востоку от другой, можно найти приблизительную кривизну в направлении восток-запад.

В этом Земле прайм-вертикальный радиус кривизны , также называемый поперечный радиусом Земли кривизны , определяются перпендикулярно (нормальным или ортогонально ) к М по геодезической широте φ является:

N ( φ ) знак равно а 2 ( а потому что ⁡ φ ) 2 + ( б грех ⁡ φ ) 2 знак равно а 1 — е 2 грех 2 ⁡ φ . <\ displaystyle N (\ varphi) = <\ frac > <\ sqrt <(a \ cos \ varphi) ^ <2>+ (b \ sin \ varphi) ^ <2>>>> = <\ frac <\ sqrt <1-e ^ <2>\ sin ^ <2>\ varphi>>> \ ,.>

Б. Р. Боуринг дает геометрическое доказательство того, что это перпендикулярное расстояние от поверхности до полярной оси.

Особые ценности

В меридиональном радиусе Земли кривизны на экваторе равен меридиан пола-LATUS прямой кишки :

В прайм-вертикальный радиус Земли кривизны на экваторе равен экваториальный радиус, N = .

В полярный радиус Земли кривизны (либо меридиональном или прайм-вертикали) составляет:

Вывод

Основные искривления являются корнями уравнения (125) в:

( E грамм — F 2 ) κ 2 — ( е грамм + грамм E — 2 ж F ) κ + ( е грамм — ж 2 ) знак равно 0 знак равно Det ( А — κ B ) , <\ displaystyle (EG-F ^ <2>) \, \ kappa ^ <2>— (eG + gE-2fF) \, \ kappa + (eg-f ^ <2>) = 0 = \ det (A- \ каппа \, В),>

где в первой фундаментальной форме для поверхности (уравнение (112) в):

d s 2 знак равно ∑ я j а я j d ш я d ш j знак равно E d φ 2 + 2 F d φ d λ + грамм d λ 2 , <\ displaystyle ds ^ <2>= \ sum _ a_ dw ^ dw ^ = E \, d \ varphi ^ <2>+ 2F \, d \ varphi \, d \ lambda + G \, d \ lambda ^ <2>,>

А знак равно а я j знак равно ∑ ν ∂ р ν ∂ ш я ∂ р ν ∂ ш j знак равно [ E F F грамм ] , <\ displaystyle A = a_ = \ sum _ <\ nu><\ frac <\ partial r ^ <\ nu>> <\ partial w ^ >> <\ frac <\ partial r ^ <\ nu>> <\ partial w ^ >> = \ left [ <\ begin E&F \\ F&G \ end > \ right],>

р знак равно [ р 1 , р 2 , р 3 ] Т знак равно [ Икс , у , z ] Т <\ displaystyle r = [r ^ <1>, r ^ <2>, r ^ <3>] ^ = [x, y, z] ^ > , , ш 1 знак равно φ <\ Displaystyle ш ^ <1>= \ varphi> ш 2 знак равно λ , <\ Displaystyle ш ^ <2>= \ лямбда,>

во второй фундаментальной форме для поверхности (Уравнение (123) в):

2 D знак равно ∑ я j б я j d ш я d ш j знак равно е d φ 2 + 2 ж d φ d λ + грамм d λ 2 , <\ displaystyle 2D = \ sum _ b_ dw ^ dw ^ = e \, d \ varphi ^ <2>+ 2f \, d \ varphi \, d \ lambda + g \, d \ lambda ^ <2>,>

e, f и g — элементы тензора формы:

B знак равно б я j знак равно ∑ ν п ν ∂ 2 р ν ∂ ш я ∂ ш j знак равно [ е ж ж грамм ] , <\ displaystyle B = b_ = \ sum _ <\ nu>n ^ <\ nu> <\ frac <\ partial ^ <2>r ^ <\ nu>> <\ partial w ^ \ partial w ^ >> = \ left [ <\ begin e & f \\ f & g \ end > \ right],>

N знак равно ∂ р ∂ φ × ∂ р ∂ λ <\ displaystyle N = <\ frac <\ partial r><\ partial \ varphi>> \ times <\ frac <\ partial r><\ partial \ lambda>>>

перпендикулярно поверхности в точке . р <\ displaystyle r>

Для сплюснутого сфероида кривизны равны F знак равно ж знак равно 0 <\ displaystyle F = f = 0>

κ 1 знак равно грамм грамм <\ displaystyle \ kappa _ <1>= <\ frac >> а также κ 2 знак равно е E , <\ displaystyle \ kappa _ <2>= <\ frac > \ ,,>

а главные радиусы кривизны равны

Первый и второй радиусы кривизны соответствуют, соответственно, меридиональному и первично-вертикальному радиусам кривизны Земли.

Геометрически вторая фундаментальная форма дает расстояние от до касательной к плоскости в . р + d р <\ displaystyle r + dr> р <\ displaystyle r>

Комбинированные радиусы кривизны

Азимутальный

Азимутальный радиус кривизны Земли вдоль курса по азимуту (измеренному по часовой стрелке с севера) α на φ определяется по формуле кривизны Эйлера следующим образом:

р c знак равно 1 потому что 2 ⁡ α M + грех 2 ⁡ α N . <\ displaystyle R _ <\ mathrm > = <\ frac <1> <<\ dfrac <\ cos ^ <2>\ alpha> > + <\ dfrac <\ sin ^ <2>\ alpha> >>> \ ,.>

Ненаправленного

Можно комбинировать главные радиусы кривизны, указанные выше, ненаправленным образом.

р а ( φ ) знак равно 1 K знак равно 1 2 π ∫ 0 2 π р c ( α ) d α знак равно M N знак равно а 2 б ( а потому что ⁡ φ ) 2 + ( б грех ⁡ φ ) 2 знак равно а 1 — е 2 1 — е 2 грех 2 ⁡ φ . <\ displaystyle R _ <\ mathrm > (\ varphi) = <\ frac <1><\ sqrt >> = <\ frac <1><2 \ pi>> \ int _ <0>^ <2 \ pi>R _ <\ mathrm > (\ alpha) \, d \ alpha \, = <\ sqrt > = <\ frac b> <(a \ cos \ varphi) ^ <2>+ (b \ sin \ varphi) ^ <2>>> = <\ frac >>> <1-e ^ <2>\ sin ^ <2>\ varphi>> \ ,.>

Там , где K является гауссова кривизна , . K знак равно κ 1 κ 2 знак равно Det B Det А <\ Displaystyle К = \ каппа _ <1>\, \ каппа _ <2>= <\ гидроразрыва <\ det \, B><\ det \, A>>>

В земной средний радиус кривизны на широте ф является:

р м знак равно 2 1 M + 1 N <\ displaystyle R _ <\ mathrm > = <\ frac <2> <<\ dfrac <1>> + <\ dfrac <1>>>> \, \!>

Глобальные радиусы

Землю можно смоделировать как сферу во многих отношениях. В этом разделе описаны распространенные способы. Для различных радиусов, полученных здесь, используются обозначения и размеры, указанные выше для Земли, полученные из эллипсоида WGS-84 ; а именно,

Экваториальный радиус : a = ( +6 +378 0,1370 км ) Полярный радиус : b = ( 6 356 .7523 км )

Сфера является грубым приближением сфероида, который, в свою очередь, является приближением геоида, единицы измерения здесь указаны в километрах, а не в миллиметрах, подходящих для геодезии.

Номинальный радиус

В астрономии Международный астрономический союз обозначает номинальный экваториальный радиус Земли как 6 378,1 км (3 963,2 мили). Номинальный полярный радиус Земли определяется как = 6,356.8 км (3,949.9 мили). Эти значения соответствуют условию нулевого земного прилива . Экваториальный радиус обычно используется в качестве номинального значения, если полярный радиус явно не требуется. Номинальный радиус служит единицей длины в астрономии . (Обозначения определены таким образом, что их можно легко обобщить для других планет ; например, для номинального полярного радиуса Юпитера .) р е E N <\ Displaystyle <\ mathcal > _ <\ mathrm > ^ <\ mathrm >> р п E N <\ Displaystyle <\ mathcal > _ <\ mathrm > ^ <\ mathrm >> р п J N <\ Displaystyle <\ mathcal > _ <\ mathrm > ^ <\ mathrm >>

Средний радиус

В геофизике Международный союз геодезии и геофизики (IUGG) определяет средний радиус Земли (обозначенный R 1 ) как

Множитель два объясняет двухосную симметрию сфероида Земли, специализацию трехосного эллипсоида. Для Земли средний радиус составляет 6371,0088 км (3958,7613 миль).

Ауталический радиус

Аутальный радиус Земли (что означает «равная площадь» ) — это радиус гипотетической идеальной сферы, имеющей такую ​​же площадь поверхности, как и опорный эллипсоид . МГГС обозначает authalic радиус , как R 2 . Для сфероида существует решение в замкнутой форме:

р 2 знак равно а 2 + б 2 е пер ⁡ ( 1 + е б / а ) 2 знак равно а 2 2 + б 2 2 танх — 1 ⁡ е е знак равно А 4 π , <\ displaystyle R_ <2>= <\ sqrt <\ frac + <\ frac > > \ ln <\ left (<\ frac <1 + e>< b / a>> \ right)>> <2>>> = <\ sqrt <<\ frac > <2>> + <\ frac > <2>> < \ frac <\ tanh ^ <- 1>e> >>> = <\ sqrt <\ frac <4 \ pi>>> \ ,,>

где e 2 = а 2 — б 2 / а 2 и представляет собой площадь поверхности сфероида.

Для Земли автоматический радиус составляет 6371,0072 км (3958,7603 миль).

Объемный радиус

Другая сферическая модель определяется объемным радиусом Земли , который представляет собой радиус сферы, объем которой равен эллипсоиду. МГГС обозначает объемный радиус , как R 3 .

Для Земли объемный радиус равен 6,371,0008 км (3,958,7564 мили).

Радиус выпрямления

Другой глобальный радиус — это радиус выпрямления Земли , дающий сферу с окружностью, равной периметру эллипса, описываемому любым полярным поперечным сечением эллипсоида. Для этого требуется эллиптический интеграл с учетом полярного и экваториального радиусов:

M р знак равно 2 π ∫ 0 π 2 а 2 потому что 2 ⁡ φ + б 2 грех 2 ⁡ φ d φ . <\ displaystyle M _ <\ mathrm > = <\ frac <2><\ pi>> \ int _ <0>^ <\ frac <\ pi><2>> <\ sqrt <> \ cos ^ <2>\ varphi + > \ sin ^ <2>\ varphi>> \, d \ varphi \ ,.>

Радиус выпрямления эквивалентен среднему меридиональному значению, которое определяется как среднее значение M :

M р знак равно 2 π ∫ 0 π 2 M ( φ ) d φ . <\ displaystyle M _ <\ mathrm > = <\ frac <2><\ pi>> \ int _ <0>^ <\ frac <\ pi><2>> \! M (\ varphi) \, d \ varphi \ ,.>

Для пределов интегрирования [0, π / 2 ], интегралы для радиуса выпрямления и среднего радиуса дают один и тот же результат, который для Земли составляет 6 367,4491 км (3 956,5494 миль).

Среднее меридиональное значение хорошо аппроксимируется средним полукубическим значением двух осей,

M р ≈ ( а 3 2 + б 3 2 2 ) 2 3 , <\ displaystyle M _ <\ mathrm > \ приблизительно \ left ( <\ frac <2>> + b ^ <\ frac <3><2>>> <2>> \ right) ^ <\ frac <2><3>> \ ,,>

который отличается от точного результата менее чем на 1 мкм (4 × 10 -5 дюймов ); среднее значение двух осей,

около 6367,445 км (3956,547 миль), также можно использовать.

Глобальный средний радиус кривизны

Глобальный средний радиус кривизны , усредненное по всем азимутам и во всех точках на поверхности, задается область , взвешенных с глобальной средней гауссовой кривизны:

р 4 знак равно 1 2 ∫ — π 2 π 2 потому что ⁡ φ р а ( φ ) d φ знак равно а 2 1 е 2 — 1 пер ⁡ 1 + е 1 — е . <\ displaystyle R_ <4>= <\ frac <1><2>> \ int _ <- <\ frac <\ pi><2>>> ^ <\ frac <\ pi><2>> \! \ cos \ varphi \, R _ <\ mathrm > (\ varphi) \, d \ varphi = <\ frac <2>> \, <\ sqrt <<\ frac <1>>> — 1>> \, \ ln <\ frac <1 + e><1-e>>.>

Для эллипсоида WGS 84 средняя кривизна равна 6370,994 км (3958,752 миль).

Топографические радиусы

Приведенные выше математические выражения применяются к поверхности эллипсоида. В приведенных ниже случаях рассматривается топография Земли над или под опорным эллипсоидом . Как таковой, они являются топографическим геоцентрическим расстоянием , R T , которая зависит не только от широты.

Топографические крайности

  • Максимальный R t : вершина Чимборасо находится в 6384,4 км (3967,1 миль) от центра Земли.
  • Минимальный R t : дно Северного Ледовитого океана находится примерно в 6 352,8 км (3 947,4 миль) от центра Земли.

Топографическое глобальное среднее

В топографических средних геоцентрическом расстоянии средних высот везде, в результате чего значения На 230 м больше среднего радиуса IUGG , автономного радиуса или объемного радиуса . Это среднее топографическое значение составляет 6 371,230 км (3 958 899 миль) с погрешностью 10 м (33 фута).

Производные величины: диаметр, окружность, длина дуги, площадь, объем.

Диаметр Земли просто вдвое больше радиуса Земли; например, экваториальный диаметр (2 a ) и полярный диаметр (2 b ). Для эллипсоида WGS84 это соответственно:

  • 2a = 12,756,2740 км (7,926,3812 миль),
  • 2b = 12,713,5046 км (7,899,8055 миль).

Окружность Земли равнадлине периметра . Экваториальной окружности это просто круг по периметру : С е = 2πa , с точки зрения экваториального радиуса,. Полярная длина окружности равна С р = 4м р ,четыре раза больше четверти меридиана м р = ае (е) , где полярный радиус Ь входит через эксцентриситет, е = (1-Ь 2 / а 2 ) 0,5 ; подробности см. в Ellipse # Circumference .

Длина дуги более общих кривых поверхности , таких как дуги меридианов и геодезические , также может быть получена из экваториального и полярного радиусов Земли.

Объем Земли или опорного эллипсоида равен V = 4 / 3 π а 2 б . Используя параметрыэллипсоида вращения WGS84 , a = 6,378,137 км и b = 6,356,752 3142 км , V = 1,08321 × 10 12 км 3 (2,5988 × 10 11 куб. Миль) .

Опубликованные значения

В этой таблице приведены принятые значения радиуса Земли.

Агентство Описание Значение (в метрах) Ссылка
IAU номинальный «нулевой прилив» экваториальный 6 378 100
IAU номинальный «нулевой прилив» полярный 6 356 800
IUGG экваториальный радиус 6 378 137
IUGG малая полуось ( б ) 6 356 752 .3141
IUGG полярный радиус кривизны ( c ) 6 399 593 +0,6259
IUGG средний радиус ( R 1 ) 6 371 008 .7714
IUGG радиус сферы той же поверхности ( R 2 ) 6 371 007. 18 10
IUGG радиус сферы такого же объема ( R 3 ) 6 371 000 .7900
IERS Эллипсоид WGS-84 , большая полуось ( а ) 6 378 137 0,0
IERS Эллипсоид WGS-84, малая полуось ( б ) 6 356 752 .3142
IERS WGS-84 в квадрате первого эксцентриситета ( e 2 ) 0,006 694 379 990 14
IERS Эллипсоид WGS-84, полярный радиус кривизны ( c ) 6 399 593 0,6258
IERS Эллипсоид WGS-84, средний радиус полуосей ( R 1 ) 6 371 008 .7714
IERS Эллипсоид WGS-84, радиус сферы равной площади ( R 2 ) 6 371 007 .1809
IERS Эллипсоид WGS-84, радиус сферы равного объема ( R 3 ) 6 371 000 .7900
Большая полуось GRS 80 ( а ) 6 378 137 0,0
Малая полуось GRS 80 ( б ) ≈6 356 752 0,314 140
Сферическая Земля Прибл. радиуса ( R E ) 6 366 707 0,0195
меридиональный радиус кривизны на экваторе 6 335 439
Максимум (вершина Чимборасо) 6 384 400
Минимум (дно Северного Ледовитого океана) 6 352 800
Среднее расстояние от центра до поверхности 6 371 230 ± 10

История

Первое опубликованное упоминание о размере Земли появилось около 350 г. до н.э., когда Аристотель сообщил в своей книге « О небесах», что математики предположили, что окружность Земли составляет 400 000 стадий . Ученые интерпретировали число Аристотеля как от очень точного до почти вдвое большего истинного значения. Первое известное научное измерение и расчет окружности Земли было выполнено Эратосфеном примерно в 240 г. до н.э. Оценки точности измерения Эратосфена колеблются от 0,5% до 17%. И для Аристотеля, и для Эратосфена неопределенность в точности их оценок связана с современной неопределенностью в отношении того, какую длину стадиона они имели в виду.

Источник