Меню

Предположим что земля просверлена по диаметру

Предположим что земля просверлена по диаметру

2016-11-25
Сквозь Землю по диаметру прорыли сквозную шахту. Пренебрегая вращением Земли и сопротивлением, определить характер движения тела, брошенного в шахту.


Запишем закон Ньютона для тела в шахте на расстоянии $x$ от центра Земли:

Можно показать, что сила со стороны внешнего шарового слоя толщиной $R — x$ равна нулю. Таким образом, сила, действующая на тело со стороны Земли:

$M$ — масса Земли, сосредоточенная в шаре радиуса $|x|$ (плотность Земли $\rho = \frac>< \frac<4> <3>\pi R^<3>>$ ).

Из (2, 3) с учетом $g = \fracM_<0>>$ находим:

Непосредственно убеждаемся, что

правильно описывает выражение для проекции силы $\vec$ на ось $x$ (из рисунка видно, что при $x > 0 F_ 0$).

Подставляя $a_ = x^< \prime \prime>$ и (6) в (5), получаем:

Это уравнение для гармонических колебаний с периодом

Таким образом, движение тела в шахте — гармонические колебания с периодом $T$ из (7).

Докажем, что гравитационная сила, действующая на тело внутри тонкой сферической оболочки, равна нулю.

Каждому малому фрагменту оболочки площадью $S$ соответствует фрагмент площадью $S^< \prime>$. Из геометрических соображений следует:

где $r$ и $r^< \prime>$ — расстояния от тела до фрагментов $S$ и $S^< \prime>$ соответственно. Обозначим массу на единицу поверхности оболочки через $\sigma$ и запишем закон всемирного тяготения для взаимодействия тела с фрагментами $S$ и $S^< \prime>$:

С учетом (8) из соотношений (9) находим: $F = F^< \prime>$. Отсюда получаем искомое утверждение.

Поскольку шаровой слой можно представить как набор тонких сферических оболочек, приходим к утверждению о том, что сила со стороны шарового слоя, действующая на тело внутри его, равна нулю.

Источник

Примеры решения задач по механике , страница 14

м

АНАЛИЗ. Задача на упругие колебания стержня вокруг вертикальной оси, проходящей через неподвижный центр стержня. Незначительность угла предварительного поворота стержня позволяет считать последующие за этим колебания с малой амплитудой гармоническими.

РЕШЕНИЕ. Стержень повернули на малый угол a вокруг вертикальной оси, проходящей через центр масс стержня. При этом нить отклонилась на угол j, причем , т.е.

, (3.2.47)

После того как нить отпустили, стержень начал совершать малые колебания. Уравнение колебаний имеет вид: , т.к. для малых колебаний , возвращающий момент силы . Учитывая (3.2.47), получим , где I – момент инерции стержня относительно точки С, т.е. . В результате

, далее . Обозначим . Уравнение колебаний имеют вид: , где , а с.

ОТВЕТ: с.

3.2.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Маятник состоит из медной проволоки диаметром d1 = 0,1 мм и медного шарика диаметром d2 = 3 см. На сколько процентов увеличится период колебания, если заменить медный шарик свинцовым того же диаметра. Амплитуду считать малой.

2. Шар, радиус которого r = 5 см подвешен на нити длиной см. Определить погрешность, которую мы делаем, приняв его за математический маятник с длиной =15 см.

3. Некоторое тело качается около оси с периодом Т1 = 0,5 с. Если же к нему прикрепить грузик с массой m = 50 г на расстоянии см ниже оси, то оно качается с периодом Т2 = 0,6 с. Найти момент инерции тела относительно оси качания.

4.Определить период колебаний массы m = 121 г ртути, находящейся в U – образной трубке. Площадь сечения трубки S = 0,3 см 2 .

5. Шарик катается по дну сферической чашки. Предполагая, что эти колебания можно считать синусоидальными, определить их период. Считать радиус чашки равным R, радиус шарика r.

6. Предположим, что по одному из диаметров Земли просверлена шахта. Принимая Землю за однородный шар с плотностью r = 5,5×10 3 кг/м 3 : а) показать, что при отсутствии трения тело, падающее в этой шахте, совершает гармонические движения; б) найти время t движения тела от поверхности Земли до ее центра.

7. Два диска могут вращаться около осей, являющихся продолжением одна другой. Моменты инерции дисков относительно этой оси равны J1 и J2. Диски соединены пружиной, коэффициент кручения которой равен G. Определить период, с которым будут колебаться диски, если их повернуть в противоположных направлениях, закручивая при этом пружину, и отпустить.

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 267
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 172
  • БГТУ 603
  • БГУ 155
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 963
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 120
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1966
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 299
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 408
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 498
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 131
  • ИжГТУ 145
  • КемГППК 171
  • КемГУ 508
  • КГМТУ 270
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2910
  • КрасГАУ 345
  • КрасГМУ 629
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 138
  • КубГУ 109
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 369
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 331
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 637
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 455
  • НИУ МЭИ 640
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 213
  • НУК им. Макарова 543
  • НВ 1001
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1993
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 302
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 120
  • РАНХиГС 190
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 245
  • РГГМУ 117
  • РГПУ им. Герцена 123
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 123
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 131
  • СПбГАСУ 315
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 146
  • СПбГПУ 1599
  • СПбГТИ (ТУ) 293
  • СПбГТУРП 236
  • СПбГУ 578
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 194
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 114
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1654
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1473
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2424
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 325
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 309

Полный список ВУЗов

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник

3. Колебания и адиабатические инварианты

Законы колебательного движения обладают универсальностью, общностью для колебаний различной физической природы. Академик Л.И.Мандельштам отмечал: «Теория колебаний объединяет, обобщает различные области физики. Каждая из областей физики _ оптика, механика, акустика _ говорит на своем «национальном» языке. Но есть «интернациональный» язык, и это _ язык теории ко­лебаний. Изучая одну область, вы получите тем самым интуицию и знания совсем в другой области».

Изменение параметров физической системы всегда сопровождается изменением не­которых характеристик ее движения. Однако в некоторых случаях в физической систе­ме существуют характеристики, которые сохраняются при медленном (адиабатическом) изменении со временем каких-либо параметров системы. Такие величины называются адиабатическими инвариантами. Геометрический смысл инварианта- это площадь замкнутой фазовой траектории.

3.1 Гармонический осциллятор

Из кинематики гармонических колебаний после несложных преобразований следует, что траектория осциллятора в фазовой плоскости (x,v) является эллипсом, размер которого опре­деляется начальными условиями, а площадь его, равная произведению энергии на период является адиабатическим инвариантом ( ).

Рис.19. Адиабатический инвариант в трехмерной графике

Указание. Исследовать гамильтониан и фазовые траектории пружинного маятника при малых измене­ниях его жесткости, используя интерактивную компьютерную графику.

Слайд 16. Анимация гармонических колебаний

3.2 Задача «Бездонный колодец»

Предположим, что Земля просверлена по диаметру (рис.20). В образовавшийся колодец опустили небольшой предмет массой m. Определить характер движения тела и скорость в центре Земли без учета сопротивления воздуха. Масса Земли Мз=6 10 24 кг, радиус R= 6400 км.

Рис.20 . К задаче «Бездонный колодец»

Взаимодействие с внешним шаровым слоем отсутствует, т.к. его можно разбить на сферы, внутри которых тяготения нет (задача Ньютона). Поэто­му тело взаимодействует только с шаром радиуса «х» с силой , где масса шара- , плотность Земли (ось ОХ направлена по диаметру). Считая ускорение свободного падения на поверхности Земли и пренебрегая сопротивлением воздуха, после несложных преобразований находим дифференциальное уравнение движения , т.е. уравнение гармонических колебаний с периодом [4].

Вращение представляет собой суперпозицию перпендикулярных гармонических колебаний, поэтому полученное решение совпадает с периодом кругового вращения спутника (

1,5 час), а скорость в центре Земли совпадает с первой космической скоростью (

Указание. Рассмотреть проект «Сказочная дорога». Изучить движение тела в тоннеле, соединяющем две противоположные точки на поверхности Земли.

3.3 Фигуры Лиссажу

Демонстрация на экране монитора сложения двух взаимно перпенди­кулярных колебаний с различными амплитудами, частотами и разностями фаз (рис. 21)

Рис. 21. Сложение колебаний в плоскости

Слайд 17. Фигуры Лиссажу в анимационной графике

Источник

Читайте также:  Емкость земли для человека это